Die Magie der Zahlen

Fortsetzung von „Der logische Vierklang"

Zahlenspiele

Seit der Antike versuchen Gelehrte die Eigenschaften der Zahlen zu erkunden und zu verstehen, wie sich mit ihnen am besten praktisch operieren lässt, zwei Felder, die wir heute als Zahlentheorie und Arithmetik bezeichnen. Die grundlegende Operation, um das Zählen abzukürzen, ist die Addition: 7 + 4 = 11. Eine der ersten Einsichten war, dass sich das Zusammenzählen der immer gleichen Zahl vereinfachen lässt: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 lässt sich bequemer als 5 ∙ 4 ausdrücken. So wie die Addition eine Verkürzung des Zählens ist, ist die Multiplikation nichts anderes, als eine verkürzte Addition. Die Reihenfolge, in der Addition und Multiplikation ausgeführt werden, spielt keine Rolle; 4 + 7 oder 4 ∙ 5 führt zu den gleichen Ergebnissen. Für die Umkehrung der Addition, die Subtraktion, gilt das jedoch nicht: 7 - 4 ist nicht dasselbe wie 4 - 7. Die letzte Operation warf zudem ein neues Problem auf: Das Ergebnis war weniger als Nichts. Offensichtlich gab es auch Zahlen, die keinen Bezug zu den natürlichen Dingen dieser Welt haben und ebenso offensichtlich hatte jede positive Zahl einen negativen Zwilling.

Verwirrend waren auch manche Ergebnisse, die man erhielt, wenn man die Multiplikation umkehrte. 20 durch 4 oder 5 zu teilen war logischerweise kein Problem. Doch beispielsweise die Division 5:2 ließ sich mit den bisher bekannten Zahlen nicht beschreiben. Offenbar gab es neben den positiven und negativen „ganzen“ auch noch „zerbrochene“ Zahlen. Noch verworrener wurde es, wenn man 10 durch 3 oder 4 durch 7 teilte. Die Ergebnisse waren unendlich lang und bestanden entweder aus der immer selben Zahl oder einer nicht enden wollenden, sich ständig wiederholenden Zahlenfolge.

Die Symbole für die vier Grundrechenarten — Die arithmetischen Varianten des Zählens

Damit waren drei verschiedene Arten von Zahlen gefunden. Zahlen, die man realen Objekten zuordnen kann, bezeichnen wir heute als natürliche Zahlen (N) Ihre Erweiterung um die negativen Zahlen bildet die Menge der ganzen Zahlen (Z). Verhältnisse zweier ganzer Zahlen erweitern die Zahlenmenge zum Kreis der rationalen Zahlen (Q).

Die Pythagoreer kriegen die Krise

Um 530 v. Chr. gründete der griechische Philosoph Pythagoras in Süditalien – damals eine hellenische Kolonie – eine Gemeinschaft mit sektenartigen Zügen. Die Religion der Pythagoreer war die Zahl. Sie war die kreative Kraft des Universums, Ausdruck einer göttlichen Harmonie und Schlüssel zum Verständnis der materiellen Welt. Die wichtigsten Zahlen waren die von 1 bis 4: 1 stand für den Punkt; 2, für die Linie, die Verbindung zweier Punkte; 3 für die Fläche, die sich aus der Verknüpfung dreier Punkte ergibt. Die 4 erhob das Dreieck zu räumlichen Figur des Tetraeders. Zusammen ergaben die ersten vier Zahlen die „vollkommene Zahl“ 10, Grundlage des Dezimalsystems.

Ein historisierendes Gemälde von 1869 - Griechen in weißen Gewändern begrüßen den Sonnenaufgang — Zwischen Esoterik und Ratio: Die Pythagoreer waren Zahlenfreaks

Auch die Musik war Teil dieser universellen, göttlichen Ordnung. Das Monochord, ein Instrument mit nur einer Saite, lieferte hierfür den Beweis: Teilte man die Saite im Verhältnis 2:1, entstand eine Oktave, der reinste Klang, den zwei Töne zusammen hervorbringen können. Das Verhältnis von 3:2 ergab eine Quinte, 4:3 eine Quarte. Die einfachen Zahlenverhältnisse schufen wundervolle Harmonien, je einfacher, desto schöner. Je komplizierter das Zahlenverhältnis jedoch, desto mehr versündigte man sich gegen das kosmische Prinzip. Das Verhältnis von 256:243 ergab eine kleine Sekunde, den geradezu schmerzlichen Halbtonschritt.

Ein Renaissancegemälde: ein bärtiger Mann mit Glatze in pastellfarbene Kleider gehüllt schreibt etwas in ein Buch — Darstellung des Pythagoras in Raffaels "Die Schule von Athen". Offenbar war er Rechtshänder

Alles war Zahl und folgte göttlichen Gesetzen. Wir können uns daher die Verzweiflung der Pythagoreer vorstellen, als sie bei ihren Erkundungen auf Zahlen stießen, die sich nicht als Verhältnis natürlicher Zahlen darstellen lassen. Das kann – ausgerechnet – beim Satz des Pythagoras der Fall sein: Wenden wir a2 + b2 = c2 auf ein rechtwinkliges Dreieck an, bei dem die Seiten a und b jeweils die Länge von 1 haben, ist die längste Seite c, die Hypotenuse, dann definitionsgemäß die Wurzel aus 2 ( = 1,414213…). Diese Zahl lässt sich bis in die Unendlichkeit nachverfolgen, ohne dass jemals ein Muster erkennbar würde, die jeweils nächste Stelle ist vollkommen dem Zufall überlassen. Offenbar hatte die Zahlenfamilie mit den end- und musterlosen Brüchen, die sich nicht als Verhältnis, als Ratio, ausdrücken ließen, ein neues Mitglied bekommen: Die irrationalen Zahlen erweiterten das Zahlenheer zur Menge der reellen Zahlen (R).

Graphische Darstellung des Satz de Pythgoras — Die verflixte Hypotenuse

Die mächtigste aller Zahlen

Bei aller Fortschrittlichkeit verfügte die antike griechische Mathematik nicht über einige der uns heute selbstverständlich erscheinenden zahlentheoretischen Konzepte. Negative Zahlen waren unbekannt, so dass rationale Zahlen lediglich Beziehungsverhältnisse natürlicher Zahlen darstellten. Noch im 3. nachchristlichen Jahrhundert hatte der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria die Gleichung 4x + 20 = 4, die mit x = - 4, eine Lösung hat, als absurd bezeichnet, während man in China zu dieser Zeit seit bereits mindestens 400 Jahren mit negativen Zahlen operierte.

Zudem fehlte eine Zahl, die sich weder Griechen noch Chinesen vorzustellen vermochten: Die Null. Tatsächlich dauerte es eine ganze Weile, bis sich die Idee durchsetzen konnte, dass auch das Nichts eine mathematische Existenzberechtigung hat. Erstmals wurde die Null anfangs des 7. Jahrhunderts in einem Werk des indischen Mathematikers Brahmagupta beschrieben, sie ist damit eine erstaunlich junge Erfindung. Die Null ist eine Eingebung von genialer Einfachheit. Sie entsteht, wenn man eine Zahl von sich selbst abzieht. In gewisser Weise entpuppt sich dann die zahlgewordene Abwesenheit als die mächtigste Ziffer überhaupt: Nimmt man mit dem „Nichts“ mal, wird jede noch so große Zahl dadurch vollständig vernichtet. Heute wird die Null in der Regel der Familie der natürlichen Zahlen zugeordnet – zumindest besagen dies DIN-Norm 5473 und ISO-Standard 80000-2, allerdings ohne eine inhaltliche Begründung zu liefern.

Graphische Darstellung der schrittweisen Erweiterung des Zahlenraums — Zahlenmengen – sie wurden schrittweise entdeckt

Jetzt wird es komplex!

Dass auch die Menge der reellen Zahlen noch nicht das Ende des Zahlenuniversums ist, offenbarte sich dann im 16. Jahrhundert. Der Umstand, dass minus mal minus plus ergibt (so wie eine doppelte Verneinung eine Bejahung ist), führt schon bei sehr einfachen Gleichungen wie x2 = -1 zu einem Problem, das sich mit reellen Zahlen nicht in den Griff bekommen lässt: Ganz gleich, ob man für x einen positiven oder negativen Wert einsetzt, das quadrierte Ergebnis wird immer eine positive Zahl sein. Dieses Dilemma brachte italienische Mathematiker der Renaissance auf die bemerkenswerte Idee, sich einfach eine Zahl vorzustellen, die die Quadratwurzel einer negativen Zahl repräsentiert. Die imaginäre Zahl „i“ ist ein Phantom, weder positiv noch negativ, doch sie weist den Weg aus der Zwickmühle. Die Menge aller imaginären Zahlen erweitert den Raum der reellen Zahlen zur Menge der komplexen Zahlen (C) .

Die Magie der Zahlen hatte damit ihre vorläufig letzte Ebene erklommen. Unser heutiges Zahlenverständnis ist das Ergebnis einer historischen Entwicklung und in seinem aktuellen Umfang noch relativ jung. Von der bodenständigen Vorstellung natürlicher Zahlen ausgehend, führten arithmetische Operationen zu den immer abstrakter werdenden Konzepten von Negativität, Rationalität, Irrationalität und Komplexität.

Wie lässt sich Mathematik am besten darstellen?

Auch die Darstellung von Mathematik durchlief eine lange Entwicklung. Ägypter, Griechen und Römer verwendeten Additionssysteme, bei denen sich der Zahlenwert durch die Addition der einzelnen Ziffern ergibt. In dem bekannten römischen Additionssystem wird die Zahl 1777 als MDCCLXXVII dargestellt, wobei M für Tausend, D für fünfhundert, C für hundert, L für fünfzig, X für zehn, V für fünf und I für eins steht. Jede beliebige andere Anordnung der Zahlensymbole führt stets zum selben Ergebnis. Dass sich mit einem solchen System keine großen operativen Sprünge machen lassen, liegt allerdings auf der Hand.

Römische Zahlen auf einer Inschrift — Die Römer waren zwangsläufig gut im Kopfrechnen

Wie bei der Null kam auch hier die Lösung aus Indien. Dort entwickelte sich etwa ab dem 5. Jahrhundert ein System, bei dem die Bedeutung einer Zahl von ihrer Position in der Ziffernfolge abhängt. Liegt einem solchen Stellenwertsystem das Dezimalsystem zugrunde, steht die letzte Stelle für die Zahlen von null bis neun, die vorletzte für die Zahlen von zehn bis neunundneunzig, die drittletzte für Zahlen zwischen einhundert und neunhundertneunundneunzig und so weiter. Bei 503 steht die „5“ also für 500, bei 305 aber nur für 5. Das Stellenwertsystem mit der Null ermöglichte den praktischen Umgang mit gewaltigen Zahlen und die schnelle Durchführung komplexer Rechenoperationen. Innerhalb von Sekunden ließen sich nun Milliardenbeträge addieren, obwohl ein Leben nicht ausreichen würde, bis zu dieser Summe zu zählen.

Schaubild mit der historischen Entwicklung der uns bekannten Zahlen — Die Entwicklung unserer Zahlen aus den indischen und arabischen Zahlen

Das Stellenwertsystem, die Null und die indischen Zahlensymbole gelangten erst am Ende des Mittelalters über arabische Händler nach Europa. In den aufstrebenden norditalienischen Handelsmetropolen wie Venedig, Florenz, Pisa und Genua, die ab dem 13. Jahrhundert die Neuzeit vorbereiteten, wurde das Potential des neuen indo-arabischen Systems rasch erkannt – dem aufblühenden Kreditwesen kam diese Magie der Zahlen jedenfalls wie gerufen...